Existen dos teoremas relacionados con la geometría clásica que reciben el nombre de teorema de Tales, ambos atribuidos al matemático griego Tales de Mileto en el siglo VI a. C.
El primero de ellos explica esencialmente una forma de construir un triángulo semejante a uno previamente existente («los triángulos semejantes son los que tienen ángulos congruentes, esto deriva en que sus lados homólogos sean proporcionales y viceversa»).
Mientras que el segundo desentraña una propiedad esencial de los circuncentros de todos los triángulos rectángulos («encontrándose estos en el punto medio de su hipotenusa»), que a su vez en la construcción geométrica es amplia mente utilizado para imponer condiciones de construcción de ángulos rectos. Si diversas rectas paralelas son intersecadas por dos transversales, los segmentos determinados por las paralelas y correspondientes entre transversales, son proporcionales.
Un teorema es una proposición que afirma una verdad demostrable. En matemáticas, es toda proposición que partiendo de un supuesto (hipótesis), afirma una racionabilidad (tesis) no evidente por sí misma. También se define como una fórmula bien formada que puede ser demostrada dentro de un sistema formal, partiendo de axiomas u otros teoremas.
Indice
Primer Teorema de Tales de Mileto
El primer teorema de Tales recoge uno de los resultados más básicos de la geometría. Dice que, si en un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtiene un triángulo que es semejante al triángulo dado.
Tales de Mileto descubrió mientras investigaba la condición de paralelismo entre dos rectas. El primero de sus teoremas puede enunciarse como que la igualdad de los cocientes de los lados de dos triángulos no es condición suficiente de paralelismo.
Sin embargo, la principal aplicación del teorema, y la razón de su fama, se deriva del establecimiento de la condición de semejanza de triángulos, a raíz de la cual se obtiene el siguiente corolario.
Aplicación
Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Esto quiere decir que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.
Segundo Teorema de Tales de Mileto
El segundo teorema de Tales de Mileto es un teorema de geometría particularmente enfocado a los triángulos rectángulos, las circunferencias y los ángulos inscritos, consiste en el siguiente enunciado: Sea B un punto de la circunferencia de diámetro AC y centro «O», distinto de A y de C. Entonces el triángulo ABC, es un triángulo rectángulo donde <ABC = 90º.
Este teorema es un caso particular de una propiedad de los puntos cocíclicos y de la aplicación de los ángulos inscritos dentro de una circunferencia.
Demostración
En la circunferencia de centro O y radio r, los segmentos OA, OB y OC. Son iguales por ser todos radios de la misma circunferencia. Por tanto, los triángulos AOB y BOC son isósceles.
La suma de los ángulos del triángulo ABC es: 2 α + 2 β = π = 180 ∘
Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior entre dos, se obtiene: A B ^ C = α + β = π 2 = 90 ∘
Este corolario (afirmación lógica que es consecuencia inmediata de un teorema, pudiendo ser demostrada usando las propiedades del teorema de referencia), es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente; según Heródoto, el propio Tales empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de Keops en Egipto. En cualquier caso, el teorema demuestra la semejanza entre dos triángulos, no la constancia del cociente.
En el primer teorema se deduce además que, si las rectas A, B, C son paralelas y cortan a otras dos rectas R y S, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.
