El método de Jacobi es un método creado por Carl Gustav Jakob Jacobi: el cual fue un matemático muy reconocido que se enfoco principalmente en estudiar la resolución de cada uno de los métodos numéricos de ecuaciones algo complicadas lineales, para darle sentido y hacerlas un poco más entendibles.
Indice
El método de Jacobi
¿Qué es el método de Jacobi?
Un método iterativo, es un método que se enfoca principalmente llegar a una solución de un problema matemático basándose fundamentalmente en posibles aproximaciones a la solución correcta de la operación matemática, comenzando especialmente desde una principal estimación en su inicio.
Jacobi se enfocó en idear uno de los métodos iterativos mas conocidos en todo el mundo; el cual se enfoca principalmente en que se centra en resolver las ecuaciones lineales de; por ejemplo, A x = b, que se basa fundamentalmente en una formula original que se utiliza para la resolución de todos los problemas.
Cuando se trata de resolver de forma numérica ecuaciones de tipo diferenciales, se pueden presentar sistemas de lineales que cuenten con aproximadamente 15.000 variables. Hoy en día se requiere para resolver este tipo de problemas por métodos básicos como eliminación o la factorización.
Este método de Jacobi se creo especialmente para poder hallarle una solución a las ecuaciones o sistemas lineales, que se basa en la formula mostrada anteriormente: Ax = b; la cual empieza con su aproximación en el comienzo, la cual es x que equivale a 0 y se comprende de vectores que igualan la solución.
¿En qué consiste este método?
Cuando se habla de este método contamos con la siguiente formula:
Ax = b
La cual viene significando como que: A viene siendo la matriz que comprende de los coeficientes, la x viene formando parte como el vector que comprende de incógnitas y la b se conoce como un vector que cuenta con términos totalmente independientes.
En este método, podemos contar en que el sistema de las ecuaciones es una agrupación o un conjunto que comprende por ‘’n’’ valores y ‘’g’’ que son los que hacen que la ecuación se encuentre más completa o más fácil de poder resolver y en donde se puede hallar la solución del problema de todas las ecuaciones.
En este tipo de ecuaciones, Jacobi concluyo en que podemos resolver los problemas por medio de 3 diferentes casos que pueden presentarse:
- La solución única que suele utilizarse en la mayoría de las ecuaciones; la cual es ‘’h’’, que se comprende como un sistema compatible determinado a la ecuación.
- Más de una sola solución, la cual es la ‘’i’’, que se comprende como un sistema compatible de igual manera, pero este es indeterminado.
- El final llamado, numero infinito de soluciones, en las que por medio de la ‘’j’’, puede comprenderse hacia un sistema totalmente incompatible.
¿Cómo se puede determinar que el método esta correctamente realizado?
Si queremos determinar si este método puede llevarnos a una solución correcta, se deben de evaluar una serie de condiciones de convergencia; comenzando por la primera, que es la mas importante, las siguientes no es tan necesario llevarlas a cabo
- Que la matriz sea obligatoriamente dominante, de forma diagonal en las filas; es decir, el elemento que comprende la diagonal que corresponde a la fila i debe de ser mucho mayor a la suma de todos los elementos que e encuentran en la fila i
- Por medio de la siguiente identidad:
A = D – L – U
En la cual D comprende de la matriz que es formada por cada uno de los elementos de la diagonal A, y -L forma parte de la matriz de forma triangular que fue obtenida por medio de la parte triangular de la parte superior de A.
