Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos).
Los máximos y mínimos también se llaman extremos de la función. Los máximos y mínimos también se llaman extremos de la función. Los extremos absolutos son los valores de una función f más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) de todo el dominio.
El máximo absoluto de la función f es el valor más grande en todo el dominio, mientras que el mínimo absoluto de la función f es el valor más pequeño en todo el dominio. Los extremos absolutos también reciben el nombre de extremos globales.
Los extremos relativos de una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) de una región del dominio. Los extremos relativos también son conocidos como extremos locales.
La función f tiene en M un máximo relativo si f(M) es mayor que sus valores próximos a izquierda y derecha. En términos de sus derivadas, sean f y f ’ derivables en M. Entonces M es máximo relativo de f si: F’ (M)= 0 y F» (M) < 0. También se puede decir que M es un máximo relativo en su entorno si a la izquierda la función es creciente y a la derecha decreciente. La función f tiene en m un mínimo relativo si f(m) es menor que sus valores próximos a izquierda y derecha.
Teorema de los Valores Extremos
Una función f(x) continua en un intervalo cerrado siempre tiene máximo absoluto y un mínimo absoluto en dicho intervalo. No se asegura que existan extremos absolutos si se define en un intervalo abierto.
El teorema de los valores extremos confirma la existencia de un máximo absoluto y un mínimo absoluto en una función continua definida en un intervalo cerrado [a,b], pero no define como se calcula.
Pasos a seguir para determinar los extremos absolutos de una función en un intervalo cerrado:
Sea f(x) continua en un intervalo cerrado.
- Se obtienen los valores críticos de la función.
- Se evalúa la función en los valores críticos que pertenecen al intervalo cerrado y también en los extremos del intervalo.
- Se seleccionan, de entre estos valores, el valor más grande y el valor más pequeño de la función, los cuales serán respectivamente el máximo absoluto y el mínimo absoluto de esta en el intervalo cerrado dado.
Por ejemplo: Para calcularlos el procedimiento es el siguiente: Derivar la función, obteniendo f’(x). Hallar las raíces de la derivada, es decir, los valores de x tales que la derivada sea 0. F’ (x)= 0
Al suponer que las raíces de f’ son {r1, r2…, rn}. Se calculan los extremos del intervalo (f(a) y f(b)). También se calculan las raíces (f(r1), f(r2) …, f(rn)).
El máximo y mínimo absolutos de f serán
- Máximo absoluto de f = máx {F(a), F(b), F(r1), F (r2) …, F(rn)}.
- Mínimo absoluto de f= mín {F(a), F(b), F(r1), F (r2) …, F(rn)}.
Extremos condicionados
Un problema de extremos condicionados consiste en buscar un extremo de una función no sobre cualquier punto de su dominio sino sobre un subconjunto del dominio de la función que puede expresarse como variedad diferenciable. Más concretamente consiste en encontrar un máximo (o un mínimo) sujeto a la condición de que el punto donde se produce pertenezca a un cierto conjunto. Este tipo de problemas aparece en numerosas aplicaciones prácticas tanto en ciencias físicas como incluso en economía.
Para resolver este tipo de problemas se usa el método de los multiplicadores de Lagrange, que es un procedimiento para encontrar los máximos y mínimos de funciones de múltiples variables sujetas a restricciones.
